Analyse : L'étude la dérivation - Spécialité
Application de la dérivation : Les fonctions quelconques
Exercice 1 : Tableau de variations d'une fonction (ax + b) * (cx + d) ou (ax + b) / (cx + d)
Compléter le tableau de variations de la fonction suivante :
\[ f:x \mapsto \left(2x + 3\right)\left(5x + 2\right) \]
Exercice 2 : Etablir le tableau de variations d'une fonction à partir du tableau de signes de sa dérivée
Soit une fonction \(f\) dont le tableau de signes
de sa dérivée est donné ci-dessous :
{"n_intervals": 2, "edges": [-6, -3, 10], "variations_values": [5, 4, 8], "variations": ["-", "+"], "signe": ["-", "+"], "signe_values": [0], "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "has_edges": false}
Etablir le tableau de variations de \(f\) en sachant que : \(f(-6) = 5\) ; \(f(-3) = 4\) ; \(f(10) = 8\).
Exercice 3 : Tableau de variations d'une fonction rationnelle
Compléter le tableau de variations de la fonction suivante :
\[ f:x \mapsto \dfrac{6}{4x + 3} - \dfrac{6}{\left(4x + 3\right)^{2}} \]
Exercice 4 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
- A.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-14, 14]], "scale": [30.0, 7.142857142857143], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 19.75 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 0.0))?(-15.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0167638483965015*Math.pow(x, 4) + 0.306122448979592*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-15.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0182215743440233*Math.pow(x, 4) - 0.326530612244898*Math.pow(x, 3)):(3.49999999999999 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= 0.0))?(-0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(3.0 + 0.428571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2) - 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
- B.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-25, 25]], "scale": [30.0, 4.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 20.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 1.0))?(-16.6363932291667 + 0.0146484375*Math.pow(x, 4) + 1.134765625*Math.pow(x, 2) + 0.259114583333333*Math.pow(x, 3) - 3.10546875*x):(((((x) <= 7.0))?(-15.9212962962963 + 0.0231481481481481*Math.pow(x, 4) + 3.30555555555556*Math.pow(x, 2) - 5.25925925925926*x - 0.481481481481481*Math.pow(x, 3)):(-14.3333333333334 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 1.0))?(-1.0*Math.pow(0.125 - 0.125*x, 3) + Math.pow(0.125 - 0.125*x, 2)*(-2.625 - 0.375*x) - 32.0*Math.pow(0.875 + 0.125*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(2.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 3) + Math.pow(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x, 2)*(-4.0 + 4.0*x) + 6.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
- C.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -19.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 1.0))?(13.9567057291667 + 0.63671875*x - 0.0068359375*Math.pow(x, 4) - 0.150390625*Math.pow(x, 2) - 0.102864583333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(13.6550925925926 + 1.5462962962963*x + 0.212962962962963*Math.pow(x, 3) - 1.06944444444444*Math.pow(x, 2) - 0.0115740740740741*Math.pow(x, 4)):(3.33333333333333 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((1 + x) <= -7))?(-3):(((((1 + x) <= 1.0))?(0.005859375*Math.pow(x, 3) + 0.015625*Math.pow(x, 2)*(-9.0 - 1.125*x) - 1.0*x*Math.pow(1.0 + 0.125*x, 2)):(((((1 + x) <= 7.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(x, 3) + 0.166666666666667*Math.pow(x, 2)*(1.0 - 0.166666666666667*x) - 1.0*x*Math.pow(1.0 - 0.166666666666667*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
- D.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-19, 19]], "scale": [30.0, 5.2631578947368425], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -3.74999999999997 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -2.0))?(11.662 + 10.544*x + 0.022*Math.pow(x, 4) + 3.948*Math.pow(x, 2) + 0.496*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(7.20816186556925 + 0.00857338820301783*Math.pow(x, 4) + 0.446502057613169*Math.pow(x, 2) + 3.75582990397805*x - 0.141289437585734*Math.pow(x, 3)):(20.5 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((1 + x) <= -7))?(-2):(((((1 + x) <= -2.0))?(-2.0*Math.pow(-0.6 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.6 - 0.2*x, 2)*(-9.6 - 1.2*x) - 15.0*Math.pow(1.6 + 0.2*x, 2)*(-0.6 - 0.2*x)):(((((1 + x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(0.333333333333333 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.666666666666667 - 0.111111111111111*x, 2)*(9.0 + 3.0*x) + 3.0*Math.pow(0.333333333333333 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.666666666666667 - 0.111111111111111*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 5 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de droite peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de gauche ?
- A.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= -1.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(7.0 + 1.0*x) - 8.16666666666666*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.005859375*Math.pow(1 + x, 3) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(1.0 + 1.0*x) - 0.140625*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 8.0 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -1.0))?(-10.3217592592593 + 1.06944444444444*Math.pow(x, 2) + 0.212962962962963*Math.pow(x, 3) + 0.0115740740740741*Math.pow(x, 4) + 1.54629629629629*x):(((((x) <= 7.0))?(-10.6233723958333 + 0.0068359375*Math.pow(x, 4) + 0.150390625*Math.pow(x, 2) + 0.63671875*x - 0.102864583333333*Math.pow(x, 3)):(3.33333333333334 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
- B.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= -3.0))?(0.84375*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(10.5 + 1.5*x) + 24.5*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.027*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 - 2.0*x) - 0.27*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-21, 21]], "scale": [30.0, 4.761904761904762], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 4.33333333333331 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -3.0))?(-23.2239583333333 - 3.71875*Math.pow(x, 2) - 13.3125*x - 0.015625*Math.pow(x, 4) - 0.395833333333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-13.3678333333333 + 0.0693333333333333*Math.pow(x, 3) - 0.0045*Math.pow(x, 4) - 0.133*Math.pow(x, 2) - 3.156*x):(-22.0 - x))))));}", [-5, 5]]]}
- C.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -21.75 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 0.0))?(22.75 - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0196793002915452*Math.pow(x, 4) - 0.346938775510204*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(22.75 + 0.326530612244898*Math.pow(x, 3) - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0182215743440233*Math.pow(x, 4)):(3.50000000000001 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 0.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-9.0 - 1.28571428571429*x) - 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) - 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
- D.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= -2.0))?(-0.128*Math.pow(-1 - 0.5*x, 3) + 19.6*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x) + 0.16*Math.pow(-1 - 0.5*x, 2)*(-8.4 - 1.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.0109739368998628*Math.pow(1 + 0.5*x, 3) + 0.604938271604938*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-4.0 - 2.0*x) + 0.148148148148148*Math.pow(1 + 0.5*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -8.16666666666662 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -2.0))?(5.94533333333328 - 0.570666666666667*Math.pow(x, 3) - 9.056*x - 0.028*Math.pow(x, 4) - 3.752*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(10.3408779149519 + 0.10562414266118*Math.pow(x, 3) - 0.201646090534979*Math.pow(x, 2) - 2.29355281207133*x - 0.00685871056241427*Math.pow(x, 4)):(-2.83333333333339 + x))))));}", [-5, 5]]]}